“p-adic理論，你們可以稱之為p進數理論，是咱們數論中一個較為重要的基礎理論，同時，它和數學中的其他領域也能十分融洽，甚至也可以作為未來你們上研究生之后的一個研究方向。”</br> 說到這，林曉微微一笑：“上一屆國際數學家大會中，有位31歲的菲爾茲獎得主叫做彼得·舒爾茨，他就是研究p-adic理論的，他利用一種十分絕妙的方法，將一些十分復雜的幾何問題引入到了p-adic理論當中實現了簡化，然后解決了不少的問題。”</br> “比如他通過引入擬完備空間把算術代數幾何轉換到p進域上，可將局部域上的算術問題簡化表示為特定的特征及特征域的組合。”</br> “利用這個技術，他便成功地將霍奇理論中的近純定理實現了推廣。”</br> “所以研究這個理論，說不定就有可能讓你得到一個菲爾茲獎。”</br> 聽到林曉的話，在場的學生們紛紛翻了個白眼。</br> 瞧您說的，就跟只要研究了這個東西就能拿獎似的。</br> 真要有這么容易的話，他們還能坐在這里？</br> 當然，林曉的這一番介紹，還是給了他們這些學生一些興趣，一位菲爾茲獎大佬都研究的東西，他們研究一下，不是更好？</br> 尤其是林曉還提到了霍奇理論，雖然他們不是都知道霍奇理論，但是作為學數學的，他們都知道霍奇猜想嘛。</br> 嗯，能跟千禧年大獎難題掛上鉤的東西，肯定是好東西。</br> 于是這些學生們都露出了認真的表情。</br> 而見到他們的表情，林曉微微一笑，引起了興趣，這就方便他之后的講課了，于是他不再多說，開始了關于p-adic理論的正式講述。</br> “p進數是有理數域拓展成的完備數域的一種。這種拓展與常見的有理數域到實數域的數系拓展不同，其具體在于所定義的“距離”概念，我們一般用Qp來表示……”</br> 課堂開始，在場的學生們也都開始了認真地思考。</br> 盡管在場的學生們基本都在之前做過了預習，但是對于學習數學的學生來說，那種哪怕看書也看不懂的知識，也算是十分的常見。</br> 而這個p-adic理論，當然也使得不少學生感到了比較難以理解。</br> 畢竟相比起他們以前所學習的那些數論中的經典定理等，p-adic理論這種連名字都稍微有些奇怪的理論，他們想要理解這個玩意兒，也仍然有些困難。</br> 當然，這時候就要輪到老師來起作用了。</br> 隨著林曉的詳細講述，這些數學中的尖子生們，也逐漸能夠理解了起來。</br> 于是就這樣，這節課的前30分鐘，林曉引領著這些學生們理解了什么是p-adic理論。</br> “現在，各位同學應該基本理解了什么是p進數。”</br> “p進數主要有兩個性質。”</br> “第一個，是代數性質。”</br> “在代數上，Qp是Zp的分式域，跟準確地說，Qp=Zp[1/p]……”</br> “大家要記住，在咱們數論的領域中，p進數的代數性質是比較重要的，大家回去之后要好好學習一下這方面的知識，鞏固一下，考試是會考的哦~”</br> 說到這，林曉微微一笑。</br> 而見到他的這個笑容，在場的學生們紛紛哆嗦了一下，連忙拿起筆，將這一點記了下來。</br> 在場的學生誰不知道，只要說到考試可能要考的地方，林神一笑，他們可就生死難料了。</br> 因為這意味著林曉往往會在這方面出上一道壓軸題，雖然說難度不會有之前那道題那么難，但是得分率肯定也不會高。</br> 而看著他們記筆記，林曉笑呵呵的安慰道：“大家別緊張嘛，畢竟我又不是什么魔鬼。”</br> 然而在座的每一位同學信都不信，紛紛翻了個白眼，然后在這個地方又多加了一個重點標記，順便寫上“非常重要”四個字，免得之后復習時給忽略了。</br> 而見到沒人相信自己，林曉聳聳肩，繼續講起了課：“那么就是第二個性質，也就是拓撲性質，拓撲性質的話，倒不是重點，我之前也說過，學習我們如今的數學，專精一個方向其實是最好的，你們如果有興趣往拓撲方面發展一下的話，可以研究研究，不過現在的話，我就簡單講講就行。”</br> “p-adic的拓撲性質，主要表現為在Qp上的范數，|·|p是一個超度量的范數。它不僅滿足三角不等式，而且滿足更強的關系……”</br> “這說明，如果將Qp想象成一個幾何空間，那么其中的三角形的一邊長度總小于等于另外兩邊中較長者，也就是說所有的三角形都是銳角等腰三角形。這與實際中的歐式幾何空間完全不同。由此Qp和R具有截然不同的拓撲性質……嗯？”</br> 說到這里的時候，林曉的眉頭忽然皺了一下，停止了自己的講述。</br> 而在場的學生們聽到林曉“嗯？”了一聲就不說話了，便都感到了疑惑。</br> 這是怎么了？</br> 不過，林曉遲疑了片刻之后，又繼續講述起來：“Qp上的拓撲是完全不連通的豪斯多夫空間，同時，Qp是由Q完備化而得，因此Q在Qp中稠密，不僅如此，任意給定……嗯？”</br> 剛說到這里，林曉忽然又停了下來，抬頭看著PPT上面他列出的一些陳述p進數拓撲性質的數學式，一只手扶住下巴，陷入了沉思的狀態中。</br> 而這就更讓在場的學生們好奇了。</br> 林曉這是想到啥了？</br> “你們說，林神不會又頓悟了吧？”</br> 底下，一名學生小聲說道。</br> 其他人便都若有所思地點點頭：“好像是的吧……”</br> 畢竟，林曉的頓悟，可是全球都出名了的。</br> “這又是要頓悟啥了啊……”</br> “說不定是霍奇猜想呢？林神上課前不是就說這個p-adic理論和霍奇理論有關系嘛。”</br> “霍奇猜想雖然和霍奇理論有關系，但是霍奇理論包括的內容更大吧？我記得霍奇理論主要講的是一種利用偏微分方程研究光滑流形M的上同調群的方法，霍奇猜想只是包括在里面吧？”</br> “狗子，你連這都知道？別卷啦別卷啦~”</br> ……</br> 正當底下學生們都看著林曉那盯著ppt思考的模樣時，林曉終于回過了神。</br> 想起自己此時還在上課，他便回過了神，歉意道：“不好意思，剛才想起了其他事情。”</br> “咱們繼續。”</br> 隨后，他便加速地講起了課，當然，其實講到這里他也基本快完了，很快地把拓撲結構講完，然后按照慣例給他們出了一道題，讓他們自己做。</br> 而后，林曉便坐在辦公桌上，找出了紙和筆，開始計算起來。</br> 他剛才為什么停頓了兩下，便是因為他在這個p-adic理論上，看到了能夠幫助他解決當前所面臨的霍奇猜想中的一個問題。</br> “通過引入擬完備空間把算術代數幾何轉換到p進域上，并應用于伽羅瓦表示，完全可以用來開發一個新的上同調理論……”</br> “而且完全可以是Motive上同調！”</br> 林曉在紙上寫下了數個看起來十分復雜的式子，然后開始嘗試著往上同調方向靠去。</br> 但是片刻后，他眉頭再次一皺。</br> “如何證明有一類有限非分歧伽羅瓦擴張L/Kp，其環為O`，剩余域為k`，對其分別存在A`∈H1（E*o′，Z/2(1)）?”</br> “不解決這個問題的話，在伽羅瓦表示的過程上，將存在一定的問題……”</br> 思考片刻后，他索性直接登錄了自己的郵箱，然后將他的思路附在上面，然后發給了彼得·舒爾茨。</br> 他當然有彼得·舒爾茨的聯系方式。</br> 不過，因為他用的是多媒體上面的電腦，而投影直接投到了黑板的屏幕上面，于是在場的學生們全都看見了。</br> 當看見林曉將他的思路附上去后，在場的學生們都是茫然的。</br> 這是啥玩意兒？</br> 他們除了開頭認識一個p-adic，之后就啥都不認識了，而且林曉因為是發給彼得·舒爾茨的，所以他這封郵件也是全英文的，這就更讓在場的學生們感到迷茫了。</br> 原來這就是數學頂級大牛平常研究的東西嗎？</br> 然而這還沒完，當最后，他們看到林曉附上了彼得·舒爾茨的名字時，就更加驚呆了，林曉這封郵件，居然是發給一位菲爾茲獎得主的？</br> 什么叫人脈？這特么的就叫人脈！</br> 而這些，暫時和他們都沒有關系，他們只能低下頭，繼續苦逼地做起了他們的題。</br> 就這樣，時間很快的過去了。</br> 下課鈴聲響起，十分鐘之后，上課鈴聲再度響起，林曉繼續講課。</br> 很快這節課差不多快結束的時候，林曉留給了學生們一段自習的時間，而他則繼續進入了郵箱中，驚訝地發現，彼得·舒爾茨居然這么快就回復了。</br> 打開郵件，彼得·舒爾茨是直接發了一封附件過來，他下載了附件之后，便看了起來。</br> 【林教授，你好！很高興收到你的來信，沒想到你對我當初的研究也會產生興趣，我看完了你的信，想來你現在研究的應該是霍奇猜想吧？</br> 關于你的問題，如何證明這個關于伽羅瓦表示的問題，在最近我研究霍奇理論的時候，恰好有所研究。</br> 首先注意，可以把A`∈H1（E*o′，Z/2(1)）設為H1et(E，Z/2)的類，由于其在剩余域中是可逆的，這個群將E上的Z/2參數化……</br> Br(S′)[2]→Br(S′Kp</br> )[2]=Z/2，到這里，我們需要繼續將其歸類為p進域中，然后用數論的方法將其解決，相信在這個問題上，沒有比林教授你更多的了。</br> 其實在研究霍奇理論的過程中，我對霍奇猜想也有過思考，不知道你有沒有看過2016年羅森松·安德烈亞斯的那篇論文，那里面對如何獲得正確的積分霍奇猜想，做出了推測，我推薦你去看看，總而言之，上同調和霍奇猜想緊密相連，或許Motive，就是解決霍奇猜想最關鍵的因素！</br> ……】</br> 看完了這篇回信，彼得·舒爾茨基本上沒有任何藏私，并且給予了林曉很大的啟發。</br> 還有舒爾茨推薦的那篇論文，林曉自然是看過的。</br> 而現在，他已經有了真正解決霍奇猜想的底氣了。</br> 至少，是對霍奇猜想的重要階段性成果。</br> 想到這，他長出一口，然后嘴角一翹。</br> 或許，去國際數學家大會的時候，可以換一個報告主題了？
三月，初春。</p>
南凰洲東部，一隅。</p>
陰霾的天空，一片灰黑，透著沉重的壓抑，仿佛有人將墨水潑灑在了宣紙上，墨浸了蒼穹，暈染出云層。</p>
云層疊嶂，彼此交融，彌散出一道道緋紅色的閃電，伴隨著隆隆的雷聲。</p>
好似神靈低吼，在人間回蕩。</p>
，。血色的雨水，帶著悲涼，落下凡塵。</p>
大地朦朧，有一座廢墟的城池，在昏紅的血雨里沉默，毫無生氣。</p>
城內斷壁殘垣，萬物枯敗，隨處可見坍塌的屋舍，以及一具具青黑色的尸體、碎肉，仿佛破碎的秋葉，無聲凋零。</p>
往日熙熙攘攘的街頭，如今一片蕭瑟。</p>
曾經人來人往的沙土路，此刻再無喧鬧。</p>
只剩下與碎肉、塵土、紙張混在一起的血泥，分不出彼此，觸目驚心。</p>
不遠，一輛殘缺的馬車，深陷在泥濘中，滿是哀落，唯有車轅上一個被遺棄的兔子玩偶，掛在上面，隨風飄搖。</p>
白色的絨毛早已浸成了濕紅，充滿了陰森詭異。</p>
渾濁的雙瞳，似乎殘留一些怨念，孤零零的望著前方斑駁的石塊。</p>
那里，趴著一道身影。</p>
這是一個十三四歲的少年，衣著殘破，滿是污垢，腰部綁著一個破損的皮袋。</p>
少年瞇著眼睛，一動不動，刺骨的寒從四方透過他破舊的外衣，襲遍全身，漸漸帶走他的體溫。</p>
可即便雨水落在臉上，他眼睛也不眨一下，鷹隼般冷冷的盯著遠處。</p>
順著他目光望去，距離他七八丈遠的位置，一只枯瘦的禿鷲，正在啃食一具野狗的腐尸，時而機警的觀察四周。</p>
似乎在這危險的廢墟中，半點風吹草動，它就會瞬間騰空。</p>
而少年如獵人一樣，耐心的等待機會。</p>
良久之后，機會到來，貪婪的禿鷲終于將它的頭，完全沒入野狗的腹腔內。</br>，，。，。</br>